Question

已知a，b，c∈N*，函数f（x）=ax2+bx+c在区间（-1，0）上有两个不同的零点，则f（1）的最小值为_____

Answer 1

解题思路：先根据方程ax²+bx+c=0有两个相异根都在（0，1）中可得到，a-b+c＞0，[c/a]＜1，且b²-4ac＞0，再由不等式的基本性质可求出a的取值范围，再根据a、b、c之间的关系即可求解．

据题意得，方程ax²+bx+c=0有两个相异根，都在（1，0）中，

故当x=-1时，a-b+c＞0，[c/a]＜1，且b²-4ac＞0①，

可见a-b+c≥1②，且a＞c③，

所以a+c≥b+1＞2

ac+1，可得（

a-

c）²＞1，

③得，

a＞

c+1，故a＞4，

又因为b＞2

ac≥2

5×1＞4，分别取a、b、c的最小整数5、5、1．

经检验，符合题意，

所以a+b+c=11最小．

故答案为：11．

点评：

本题考点： 二次函数的性质；函数的零点．

考点点评： 本题考查的是抛物线与x轴的交点问题及根的判别式，由a-b+c＞0，[c/a]＜1，且b2-4ac＞0得到关于a、b、c的关系式是解答此题的关键．