Question

已知函数f（x）=log2x-1，对于满足0＜x1＜x2的任意实数x1、x2，给出下列结论：

Answer 1

解题思路：根据对数函数的图象结合函数的性质分别进行判断即可得到结论．

对于①．因为函数f(x)＝lo

g 2x−1是（0，+∞）上的增函数，所以△x=x₂-x₁＞0⇒△y=y₂-y₁＞0所以①不正确．

对于②．x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）⇒

f(x1)

x1＞

f(x2)

x2⇒

f(x)

x为（0，+∞）上的减函数，

即g(x)＝

log2x−1

x为（0，+∞）上的减函数，

而g′(x)＝(

log2x−1

x)′＝

1

ln2−log2x+1

x2＝

log22e−log2x

x2⇒0＜x＜2e时g'（x）＞0，g（x）为增函数，

或者取x2＝8，x1＝

1

2代入得8f(

1

2)＝(8lo

g 2

1

2−8)＝−16，

1

2f(8)＝

1

2lo

g 28−

1

2＝1，

显然8f(

1

2)＜

1

2f(8)所以②不正确．

对于③．f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁⇒f（x₂）-x₂＞f（x₁）-x₁，即说明函数g(x)＝f(x)−x＝lo

g 2x−x−1是（0，+∞）上的增函数，而 g′(x)＝(f(x)−x)′＝

1

xln2−1在区间(lo

g 2e，+∞)上g'（x）＜0，所以③不正确．

对于④.

f(x1)+f(x2)

2＝

lo

g

点评：

本题考点： 对数函数的单调区间．

考点点评： 本题考查命题的真假判断与应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数函数运算公式的合理运用．