（1）∵直线AB的解析式为y=2x+2，
∴点A、B的坐标分别为A（0，2）、B（-1，0）；
又直线l的解析式为y=-3x+9，∴点C的坐标为（3，0）．
由上，可设经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），将点A的坐标代入，得：a=-
2
3 ，
∴抛物线的解析式为y=-
2
3 x 2+
4
3 x+2，
∴抛物线的对称轴为x=1；
由于抛物线的开口向下，所以函数值随x的增大而增大时，x的取值范围是x≤1．
（2）过A作AE ∥ BC，交抛物线于点E；显然，点A、E关于直线x=1对称，
∴点E的坐标为E（2，2）；
故梯形ABCE的面积为 S=
1
2 （2+4）×2=6．
（3）假设存在符合条件的点H，作直线FH交x轴于M；
由题意知，S △CFM=3，设F（m，n），易知m=2；
将F（2，n）的坐标代入y=-3x+9中，可求出n=3，则FG=3；
∴S △CFM=
1
2 FG•CM=3，∴CM=2．
由C（3，0）知，M 1（1，0）、M 2（5，0），
设FM的解析式为y=kx+b：
由M 1（1，0）、F（2，3）得，FM 1解析式为y=3x-3，则FM 1与抛物线的交点H满足：
y=3x-3
y=-
2
3 x 2 +
4
3 x+2 ，
整理得，2x 2+5x-15=0，
∴x=
-5±
145
4 ，
由M 2（5，0）、F（2，3）得，FM 2解析式为y=-x+5，则FM 2与抛物线的交点H满足：
y=-x+5
y=-
2
3 x 2 +
4
3 x+2 ，整理得，2x 2-7x+9=0，
∵△＜0，∴不符合题意，舍去；
即：H点的横坐标为
-5±
145
4 ．