Question

如图，已知抛物线y=ax 2 +bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰

Answer 1

（1）由题意可知C（0，-3），

，

∴抛物线的解析式为y=ax ²-2ax-3（a＞0），过M作MN⊥y轴于N，连结CM，则MN=1，

，

∴CN=2，于是m=-1．同理可求得B（3，0），

∴a×3 ²-2-2a×3-3=0，得a=1，

∴抛物线的解析式为y=x ²-2x-3；

（2）由（1）得A（-1，0），E（1，-4），D（0，1），

∴在Rt△BCE中，

，

，

∴

，

∴

，即

，

∴Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE=∠OBD=b，

因此sin（a-b）=sin（∠DBC-∠OBD）

=sin∠OBC=

；

（3）显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P ₁（0，0），

过A作AP ₂⊥AC交y正半轴于P ₂，由Rt△CAP ₂∽Rt△BCE，得

，过C作CP ₃⊥AC交x正半轴于P ₃，

由Rt△P ₃CA∽Rt△BCE，得P ₃（9，0），

故在坐标轴上存在三个点P ₁（0，0），P ₂（0，1∕3），P ₃（9，0），使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似。