有一条直线与抛物线y=x2相交于A,B两点,线段AB与抛物线所围成的面积恒等于[4/3],求线段AB的中点P的轨迹方程.

5个回答

  • 解题思路:设A(a,a2),B(b,b2)(a<b),利用定积分求面积,可得b-a=2,设线段AB的中点P(x,y),其中x=[a+b/2],y=

    a

    2

    +

    b

    2

    2

    ,再消参数,即可求线段AB的中点P的轨迹方程.

    设A(a,a2),B(b,b2) (a<b)

    则直线AB与抛物线围成图形的面积为:S=

    ∫ba[(a+b)x−ab−x2]dx

    =(

    a+b

    2x2−abx−

    x3

    3)

    .

    b

    a=

    1

    6(b−a)3

    ∴[1/6(b−a)3=

    4

    3],∴b-a=2(6分)

    设线段AB的中点P(x,y),其中x=[a+b/2],y=

    a2+b2

    2,

    将b-a=2即b=a+2代入得:

    x=a+1

    y=a2+2a+2

    消去a得:y=x2+1

    故所求的轨迹方程为:y=x2+1(12分)

    点评:

    本题考点: 抛物线的简单性质.

    考点点评: 本题考查求点的轨迹方程的方法,考查参数法的运用,属于中档题.