已知二阶非齐次线性微分方程的两个特解,应该如何求通解?

1个回答

  • 若求得:y" - p(x)*y' - q(x)*y = 0 的两个线性无关的特u(x),v(x),则

    非齐次方程:y" - p(x)*y' - q(x)*y = f(x) 的通解公式为:

    y = C1 * u(x) + C2 * v(x) + ∫ [ u(s)*v(x) - u(x)*v(s) ] / [ u(s)*v ' (x) - v(s) * u ' (x) ] * f(s) ds.

    而如果你得到的是:y" - p(x)*y' - q(x)*y = f(x) 两个线性无关的特解,则通解为:

    y = C1 * u(x) + C2 * v(x).

    一般,对于二阶非齐次线性微分方程,都是采取先求齐次部分的两个线性无关的解,然后再求整个非齐次部分的通解.举个例子如下:

    y"-2y'-3y=3x+1 的齐次部分 y"-2y'-3y = 0 对应的特征方程为:

    x^2 -2x - 3 = 0 ,解为 x = -1 或 3 ,即基本解组为:u(x) = e^(-x),v(x) = e^(3x).

    非齐次方程:y"-2y'-3y = 3x+1 = f(x) 的通解公式为:

    y = C1 * u(x) + C2 * v(x) + ∫ [ u(s)*v(x) - u(x)*v(s) ] / [ u(s)*v ' (x) - v(s) * u ' (x) ] * f(s) ds

    将u(x),v(x),f(x) 代入上式计算得到:

    y = C1 * e^(-x) + C2 * e^(3x) + 1/3 - x.

    还有什么不懂的,直接百度Hi我即可~