Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x2+2x的图象上．

Answer 1

解题思路：（1）利用点在函数的图象上，求出S_n，然后利用an=s_n-s_n-1，求数列{a_n}的通项公式；

（2）求出

b

n

＝

1

a

n

•

a

n+1

，利用裂项法直接求解数列{b_n}的前n项和为B_n；

（3）通过

c

n

＝

t

a

n

(t＞0)

，判断数列{c_n}是等比数列，求出它的前n项和T_n，然后求

lim

n→∞

T

n+1

T

n

的值．

（本题满分（14分），第（1）小题（5分），第（2）小题（5分），第（3）小题4分））

（1）因为点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上

所以Sn＝n2+2nn∈N*------------------------（1分）

当n=1时，a₁=S₁=1+2=3

当n≥2时，an＝Sn−Sn−1＝n2+2n−[(n−1)2+2(n−1)]＝2n+1（*）

令n=1，a₁=2+1=3，也满足（*）式-------------------（3分）

所以，数列{a_n}的通项公式是a_n=2n+1．------------------------（4分）

（2）bn＝

1

(2n+1)(2n+3)＝

1

2(

1

2n+1−

1

2n+3)------------------------（6分）

∴Bn＝

1

2[(

1

3−

1

5)+(

1

5−

1

7)+…+(

1

2n+1−

1

2n+3)]=[1/2(

1

3−

1

2n+3)＝

n

6n+9]---------------（8分）

（3）因为cn＝t2n+1，所以

cn+1

cn＝t2，

则数列{c_n}成公比为等比数列t²的等比数列．

∵t＞0

当t=1时，T_n=n；t＞0，t≠1，Tn＝

t3(1−t2n)

1−t2；------------------------（10分）

当t=1时，

lim

n→∞

Tn+1

Tn＝

lim

n→∞

n+1

n＝1

当t＞1时，

lim

n→∞

Tn+1

Tn＝

lim

n→∞

1−t

点评：

本题考点： 数列的极限；等差数列的通项公式；数列的求和．

考点点评： 本题考查数列的极限，等差数列的通项公式，数列的求和的应用，考查转化思想计算能力．