Question

已知椭圆C的焦点F1(-2√2,0)、F2（2√2,0),长轴长6,设直线y=x+2交椭圆C于A、B两两点.求OAB面积

Answer 1

椭圆中 2a=6 ,因此 a^2=9 ,又 c^2=a^2-b^2=8 ,因此 b^2=1 ,

所以椭圆方程为 x^2/9+y^2=1 ,

将 y=x+2 代入可得 x^2/9+(x+2)^2=1 ,

化简得 10x^2+36x+27=0 ,

设 A（x1,y1）,B（x2,y2）,

则 x1+x2= -36/10= -18/5 ,x1*x2=27/10 ,

因此由 |AB|^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2=2(x2-x1)^2=2*[(x1+x2)^2-4x1*x2]=2*[(-18/5)^2-4*27/10]=108/25

得 |AB|=6√3/5 ,

而原点 O 到直线距离为 h=|0-0-2|/√2=√2 ,

所以 SOAB=1/2*|AB|*h=3√6/5 .