解题思路:(Ⅰ)先对函数求导,令导函数大于0得到递增区间,令导函数小于0得到递减区间;
(Ⅱ)根据(Ⅰ)确定的函数单调性,讨论-a-1与[0,4]的关系,得到函数f(x)在[0,4]上的单调性,进而可得函数f(x)的最小值.
(Ⅰ)因为f(x)=(x+a)ex,
所以f′(x)=(x+a+1)ex,
令f′(x)=0,得x=-a-1
当x变化时,f(x)和f′(x)的变化情况如下:
x (-∞,-a-1) -a-1 (-a-1,+∞)
f′(x) - 0 +
f(x) ↘ ↗故f(x)的单调减区间为(-∞,-a-1);单调增区间为(-a-1,+∞).
(Ⅱ)由(Ⅰ),得f(x)的单调减区间为(-∞,-a-1);单调增区间为(-a-1,+∞).
所以当-a-1≤0,即a≥-1时,f(x)在[0,4]上单调递增,
故f(x)在[0,4]上的最小值为f(x)min=f(0)=a;
当0<-a-1<4,即-5<a<-1时,
f(x)在(0,-a-1)上单调递减,在(-a-1,4)上单调递增,
故f(x)在[0,4]上的最小值为f(x)min=f(-a-1)=-e-a-1;
当-a-1≥4,即a≤-5时,f(x)在(0,4)上单调递减,
故f(x)在[0,4]上的最小值为f(x)min=f(4)=(a+4)e4.
所以函数f(x)在[0,4]上的最小值为为f(x)min=
a(a≥−1)
−e−a−1(−5<a<−1)
(a+4)e4(a≤−5).
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.
考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查利用导数研究函数的单调性,极值及最值,要注意求极值时,导数等于0根的左右单调性的判断.考查了分析解决问题的能力.