Question

已知函数f（x）=（ax2+x）•ex，其中e是自然数的底数，a∈R，

Answer 1

解题思路：（1）由已知得ax²+x-a+1＞0，由此能求出当0＜a＜[1/2]时，原不等式的解集为（[a−1/a]，-1），当a=[1/2]时，原不等式的解集为∅，当a＞[1/2]时，原不等式的解集为（-1，[a−1/a]）．

（2）当x∈[-1，1]时，不等式ax²+（2a+1）x+1≥0恒成立，由此分类讨论，能求出a的取值范围．

（3）方程即为e^x+x-2=0，设h（x）=e^x+x-2，由此利用函数的单调性能求出e^x+x-2=0有且仅有一个根，且在（0，1）内，所以存在唯一的整数k=0．

（本小题满分16分）

（1）∵f（x）=（ax²+x）•e^x，f（x）＞（a-1）e^x，

∴（ax²+x）e^x-（a-1）e^x＞0，∴ax²+x-a+1＞0，

∵a＞0，∴x₁=-1，x₂=[a−1/a]，

∴当0＜a＜[1/2]时，原不等式的解集为（[a−1/a]，-1），

当a=[1/2]时，原不等式的解集为∅，

当a＞[1/2]时，原不等式的解集为（-1，[a−1/a]）．

（2）当x∈[-1，1]时，不等式ax²+（2a+1）x+1≥0恒成立，

①若a=0，则x+1≥0，该不等式满足在x∈[-1，1]时恒成立；

②∵△=（2a+1）²-4a=4a²+1＞0，

∴g（x）=ax²+（2a+1）x+1有两个零点，

若a＞0，则需满足

a＞0

g(−1)≥0

−

2a+1

2a≤−1，此时a无解；

③若a＜0，则需满足

a＜0

g(−1)≥0

g(1)≥0，

即

a＜0

点评：

本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查方程的解法，考查a的取值范围的求法，考查满足条件的整数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意导数的性质的合理运用．