Question

（2014•漳州二模）已知函数f（x）=（ax2+x-1）ex，其中e是自然对数的底数，a∈R．

Answer 1

解题思路：（1）把a=1代入，可求得f（1）=e，f′（1）=4e，由点斜式可得方程；（2）求导数，分a=

−

1

2

，

a＜−

1

2

，

−

1

2

＜a＜0，三种情况讨论；（3）原问题等价于f（x）-g（x）的图象与x轴有3个不同的交点，即y=m与y=（-x²+x-1）e^x-[1/3]x³-[1/2]x²的图象有3个不同的交点，构造函数F（x）=（-x²+x-1）e^x-[1/3]x³-[1/2]x²，求导数可得极值点，数形结合可得答案．

∵f（x）=（ax²+x-1）e^x，∴f′（x）=（2ax+1）e^x+（ax²+x-1）e^x=（ax²+2ax+x）e^x，

（1）当a=1时，f（1）=e，f′（1）=4e，故切线方程为y-e=4e（x-1），

化为一般式可得4ex-y-3e=0；

（2）当a＜0时，f′（x）=（ax²+2ax+x）e^x=[x（ax+2a+1）]e^x，

若a=−

1

2，f′（x）=-[1/2]x²e^x≤0，函数f（x）在R上单调递减，

若a＜−

1

2，当x∈（-∞，-2-[1/a]）和（0，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，

当x∈（-2-[1/a]，0）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；

若−

1

2＜a＜0，当x∈（-∞，0）和（-2-[1/a]，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，

当x∈（0，-2-[1/a]）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；

（3）若a=-1，f（x）=（-x²+x-1）e^x，可得f（x）-g（x）=（-x²+x-1）e^x-[1/3]x³-[1/2]x²-m，

原问题等价于f（x）-g（x）的图象与x轴有3个不同的交点，

即y=m与y=（-x²+x-1）e^x-[1/3]x³-[1/2]x²的图象有3个不同的交点，

构造函数F（x）=（-x²+x-1）e^x-[1/3]x³-[1/2]x²，

则F′（x）=（-2x+1）e^x+（-x²+x-1）e^x-x²-x

=（-x²-x）e^x-x²-x=-x（x+1）（e^x+1），令F′（x）=0，可解得x=0或-1，

且当x∈（-∞，-1）和（0，+∞）时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，

当x∈（-1，0）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，

故函数F（x）在x=-1处取极小值F（-1）=−

3

e−

1

6，在x=0处取极大值F（0）=-1，

要满足题意只需∈（−

3

e−

1

6，-1）即可．

故实数m的取值范围为：（−

3

e−

1

6，-1）

点评：

本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．

考点点评： 本题考查函数与导数的综合应用，涉及根的个数的判断，属中档题．