Question

（2014•南开区二模）设函数f（x）=x（ex-1）-ax2（e=2071828…是自然对数的底数）．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）通过求导得出函数的单调区间，

（Ⅱ）由f（x）=x（e^x-1-ax）得g（x）=e^x-1-ax，则g′（x）=e^x-a．通过讨论a≤1，a＞1分别求出a的范围，

（Ⅲ）可通过数学归纳法进行证明．

（Ⅰ）a=[1/2]时，f（x）=x（e^x-1）-[1/2]x²，

f′（x）=e^x-1+xe^x-x=（e^x-1）（（x+1）．

令f'（x）＞0，得x＜-1或x＞0，

所以f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（0，+∞）．

（Ⅱ）f（x）=x（e^x-1-ax）

令g（x）=e^x-1-ax，则g′（x）=e^x-a．

若a≤1，则当（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，

而g（x）=0，从而当x≥0时，g（x）≥0，即f（x）≥0．

若a＞1，则当x∈（0，lna）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，

而g（x）=0，从而当x∈（0，lna）时，g（x）＜0，即f（x）＜0．

所以不合题意，舍去．

综合得a的取值范围为（-∞，1]．

（Ⅲ）用数学归纳法证明：

（1）n=1时，令h（x）=e^x-（1+x），x≥0，

显然h（0）=0，h′（x）=e^x-1＞0对x＞0成立，∴h（x）在[0，+∞）递增，

当x＞0时，有h（x）＞h（0）=0，即e^x＞1+x，

∴n=1时不等式成立，

（2）假设n=k时不等式成立，

即e^x＞1+[x/1!]+

x2

2!+…+

xk

k!，

当n=k+1时，令m（x）=e^x-（1+[x/1!]+…+

xk+1

(k+1)!），

显然m（0）=0，由归纳假设m；′′（x）=e^x-（1+[x/1!]+…+

xk

k!）＞0对x＞0成立，

∴m（x）在[0，+∞）递增，

当x＞0时，有m（x）＞m（0）=0，

即e^x＞1+[x/1!]+…+

xk+1

(k+1)!当n=k+1时不等式成立，

综合（1）（2）得：

n∈N^*，x＞0，e^x＞1+[x/1!]+

x2

2!+…+

xn

n!．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，考查分类讨论思想，数学归纳法的应用，是一道综合题．