4．（2011•江苏杨州）在 中, 是 边的中点, 交 于点 ．动点 从点 出发沿射线 以每秒 厘米的速度运动．同时,动点 从点 出发沿射线 运动,且始终保持 设运动时间为 秒（ ）．
（1） 与 相似吗?以图1为例说明理由；
（2）若 厘 米．
①求动点 的运动速度；
②设 的面积为 （平方厘米）,求 与 的函数关系式；
（3）探求 三者之间的数量关系,以图1为例说明理由．
【答案】（1） 理由如下： 如图1,
．
（2） cm．
又 垂直平分 , cm．
＝4cm．
①设 点的运动速度为 cm/s．
如图1,当 时,由（1）知
即
如图2,易知当 时, ．
综上所述, 点运动速度为1 cm/s．
②
如图1,当 时,
．
如图2,当 时, , ,
．
综上所述,
（）
理由如下：
如图,延长 至 ,使 ,连结 、
、 互相平分, 四边形 是平行四边形, .
, , ．
垂直平分 , ．
【考点】相似三角形的判定,.
【分析】（1）由 得到
从而
（2）①由于 厘米,点 从点 出发沿射线 以每秒 厘米的速度运动,故点 从点 出发沿射线 到达点 的时间为4秒,从而应分两种情况 和 分别讨论.②分两种情况 和 ,把 .
（3）要探求 三者之间的数量关系就要把 放到一个三角形中,故作辅助线延长 至 ,使 ,连结 、 得到 , ,从而在 , ,
5、（2011•江苏连云港）如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点P在AB上,AP=2,点E、F同时从点P出发,分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动,点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动,点F运动到点B时停止,点E也随之停止．在点E、F运动过程中,以EF为边作正方形EFGH,使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t/秒（t＞0）,正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S．
（1）当时t=1时,正方形EFGH的边长是 1 ．当t=3时,正方形EFGH的边长是 4 ．
（2）当0＜t≤2时 ,求S与t的函数关系式；
（3）直接答出：在整个运动过程中,当t为何值时,S最大?最大面积是多少?
考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；勾股定理；正方形的性质.
专题：计算题；几何动点问题；分类讨论.
分析：（1）当时t=1时,可得,EP=1,PF=1,EF=2即为正方形EFGH的边长；当t=3时,PE=1,PF=3,即EF=4；
（2）正方形EFGH与△ABC重叠部分的形状,依次为正方形、五边形和梯形；可分三段分别①当0＜t≤ 时；②当 ＜t≤ 时；③当 ＜t≤2时；依次求S与t的函数关系式；
（3）当t=5时,面积最大；
（1）当时t=1时,则PE=1,PF=1,
∴正方形EFGH的边长是2；
当t=3时,PE=1,PF=3,
∴正方形EFGH的边长是4；
（2）：①当0＜t≤ 时,
S与t的函数关系式是y=2t×2t=4t2；
②当 ＜t≤ 时,
S与t的函数关系式是：
y=4t2﹣ [2t﹣ （2﹣t）]× [2t﹣ （2﹣t）],
=﹣ t2+11t﹣3；
③当 ＜t≤2时；
S与t的函数关系式是：
y= （t+2）× （t+2）﹣ （2﹣t）（2﹣t）,
=3t；
（3）当t=5时,最大面积是：
s=16﹣ × × = ；
点评：本题考查了动点函数问题,其中应用到了相似形、正方形及勾股定理的性质,锻炼了学生运用综合知识解答题目的能力．
6．（2011•江苏淮安）某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究,他们发现如下结论：
（1）有一 条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；
（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；
…
现请你继续对下面问题进行探究,探究过程可直接应用上述结论．（S表示面积）
问题1：如图1,现有一块三角形纸板ABC,P1,P2三等分边AB,R1,R2三等分边AC．
经探究知 ＝13 S△ABC,请证明．
问题2：若有另一块三角形纸板,可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD,如图2,Q1,Q2三等分边DC．请探究 与S四边形ABCD之间的数量关系．
问题3：如图3,P1,P2,P3,P4五等分边AB,Q1,Q2,Q3,Q4五等分边DC．若
S四边形ABCD＝1,求 ．
问题4：如图4,P1,P2,P3四等分边AB,Q1,Q2,Q3四等分边DC,P1Q1,P2Q2,P3Q3
将四边形ABCD分成四个部分,面积分别为S1,S2,S3,S4．请直接写出含有S1,S2,S3,S4的一个等式．
【答案】问题1：∵P1,P2三等分边AB,R1,R2三等分边AC,
∴P1R1∥P2R2∥BC．∴△AP1 R1∽△AP2R2∽△ABC,且面积比为1:4:9．
∴ ＝4－19 S△ABC＝13 S△ABC
问题2：连接Q1R1,Q2R2,如图,由问题1的结论,可知
∴ ＝13 S△ABC , ＝13 S△ACD
∴ ＋ ＝13 S四边形ABCD
由∵P1,P2三等分边AB,R1,R2三等分边AC,Q1,Q2三等分边DC,
可得P1R1:P2R2＝Q2R2:Q1R1＝1:2,且P1R1∥P2R2,Q2R2∥Q1R1．
∴∠P1R1A＝∠P2R2A,∠Q1R1A＝∠Q2R2A．∴∠P1R1Q1＝∠P2R2 Q2．
由结论（2）,可知 ＝ ．
∴ ＝ ＋ ＝13 S四边形ABCD．
问题3：设 ＝A, ＝B,设 ＝C,
由问题2的结论,可知A＝13 ,B＝13 ．
A＋B＝13 (S四边形ABCD＋C)＝13 (1＋C)．
又∵C＝13 (A＋B＋C),即C＝13 [13 (1＋C)＋C]．
整理得C＝15 ,即 ＝15
问题4：S1＋S4＝S2＋S3．
【考点】平行的判定,相似三角形的判定和性质,等量代换.
【分析】问题1：由平行和相似三角形的判定,再由相似三角形面积比是对应边的比的平方的性质可得.
问题2：由问题1的结果和所给结论（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比,可得.
问题3：由问题2的结果经过等量代换可求.
问题4：由问题2可知S1＋S4 ＝S2＋S3＝ .
7．（2011•江苏南通）如图,已知直线l经过点A(1,0),与双曲线y＝m x
(x＞0)交于点B(2,1)．过点P(p,p－1)(p＞1)作x轴的平
行线分别交双曲线y＝m x (x＞0)和y＝－m x (x＜0)于点M、N．
(1)求m的值和直线l的解析式；
(2)若点P在直线y＝2上,求证：△PMB∽△PNA；
(3)是否存在实数p,使得S△AMN＝4S△AMP?若存在,请求出所有满足条件的p的值；若
不存在,请说明理由．
【答案】(1)由点B(2,1)在y＝m x 上,有2＝ ,即m＝2.
设直线l的解析式为 ,由点A(1,0),点B(2,1)在 上,得
, ,解之,得
∴所求 直线l的解析式为 .
(2) 点P(p,p－1)在直线y＝2上,∴P在直线l上,是直线y＝2和l的交点,见图（1）.
∴根据条件得各点坐标为N（－1,2）,M（1,2）,P（3,2）.
∴NP＝3－（－1）＝4,MP＝3－1＝2,AP＝ ,
BP＝
∴在△PMB和△PNA中,∠MPB＝∠NPA, .
∴△PMB∽△PNA.
(3)S△AMN＝ .下面分 情况讨论：
当1＜p＜3时,延长MP交X轴于Q,见图（2）.设直线MP为 则有
解得
则直线MP为
当y＝0时,x＝ ,即点Q的坐标为（ ,0）.
则 ,
由2＝4 有 ,解之,p＝3（不合,舍去）,p＝ .
当p＝3时,见图（1）S△AMP＝ ＝S△AMN.不合题意.
当p>3时,延长PM交X轴于Q,见图（3）.
此时,S△AMP大于情况当p＝3时的三角形面积S△AMN.故不存在实数p,使得S△AMN＝4S△AMP.
综上,当p＝ 时,S△AMN＝4S△AMP.
【考点】反比例函数,一次函数,待定系数法,二元一次方程组,勾股定理,相似三角形一元二次方程.
【分析】(1)用点B(2,1)的坐标代入y＝m x 即可得m值,用待定系数法,求解二元一次方程组可得直线l的解析式.
(2)点P(p,p－1)在直线y＝2上,实际上表示了点是直线y＝2和l的交点,这样要求证△PMB∽△PNA只要证出对应线段成比例即可.
(3)首先要考虑点P的位置.实际上,当p＝3时,易求出这时S△AMP＝S△AMN,当p>3时,注意到这时S△AMP大于p＝3时的三角形面积,从而大于S△AMN,.所以只要主要研究当1＜p ＜3时的情况.作出必要的辅助线后,先求直线MP的方程,再求出各点坐标（用p表示）,然后求出面积表达式,代入S△AMN＝4S△AMP后求出p值.
8．（2011•江苏苏州）已知二次函数 的图象与x轴分别交于点A、B,与y轴交于点C．点D是抛物线的顶点．
(1)如图①,连接AC,将△OAC沿直线AC翻折,若点O的对应点O'恰好落在该抛物线的对称轴上,求实数a的值；
(2)如图②,在正方形EFGH中,点E、F的坐标分别是（4,4）、（4,3）,边HG位于边EF的右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点,则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）．”若点P是边EF或边FG上的任意一点,刚才的结论是否也成立?请你积极探索,并写出探索过程；
(3)如图②,当点P在抛物线对称轴上时,设点P的纵坐标t是大于3的常数,试问：是否存在一个正数a,使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）?请说明理由．