求:证明柯西不等式

2个回答

  • (a1^2+a2^2+……+an^2)(b1^2+b2^2+……+bn^2)≥(a1b1+a2b2+……+anbn)^2

    证:考虑这个代数式:(a1t-b1)^2+(a2t-b2)^2+……+(ant-bn)^2

    显然有(a1t-b1)^2+(a2t-b2)^2+……+(ant-bn)^2≥0

    左边拆开,(a1^2+a2^2+……+an^2)t-2t(a1b1+a2b2+……+anbn)+b1^2+b2^2+……+bn^2≥0

    从函数图象上来看,

    令f(t)=(a1^2+a2^2+……+an^2)t-2t(a1b1+a2b2+……+anbn)+b1^2+b2^2+……+bn^2

    若f(t)≥0,则a1^2+a2^2+……+an^2>0,

    且△=4(a1b1+a2b2+……+anbn)^2-4(a1^2+a2^2+……+an^2)(b1^2+b2^2+……+bn^2)≤0

    第一个条件天然满足,后一个条件整理一下就是柯西不等式