看选修4-5第38页.
思路：令A=a1²+a2²+……+an²,B=b1²+b2²+……+bn²,C=a1b1+a2b2+……+anbn
作函数f（x）=Ax²+2Cx+B
如果能证明函数f（x）恒大于等于0,即f（x）的判别式Δ≤0,就得到4C²≤4AB,即柯西不等式得证.
而f（x）=（a1²x²+2a1b1x+b1²）+（a2²x²+2a2b2x+b2²）+……+（an²x²+2anbnx+bn²）
=（a1x+b1）²+（a2x+b2）²+……+（anx+bn）²
≥0
取“=”的条件：a1=a2=……=an=0,或b1=b2=……=bn=0；
或存在常数x使aix+bi=0,i=1,2,……,n
下面是我自己想的.
方法一：左边=（a1²+a2²+……+an²）（b1²+b2²+……+bn²）
右边=（a1b1+a2b2+……+anbn）²
分别展开,通项分别为
左边=ai²bi²+ai²bj²+aj²bi²+aj²bj²,1≤i＜j≤n
右边=ai²bi²+2aibiajbj+aj²bj²,1≤i＜j≤n
左边﹣右边=（aibj）²﹣2（aibj）（ajbi）+（ajbj）²=（aibj﹣ajbi）²≥0
取“=”的条件为ai=0（即aj=0）或bi=0（即bj=0）或ai：bi=aj：bj=const（即ai=kbi）
方法二：数学归纳法