Question

已知函数f（x）=2x+λ2-x（λ∈R）．

Answer 1

解题思路：（1）根据函数零点的定义，直接解方程即可，

（2）根据偶函数的定义判断即可，

（3）不等式转化为参数λ的不等式，-2^2x+2^x-1≤λ≤-2^2x+2^x+2，求在区间的最值问题，问题得以解决．

（1）∵f（x）=2^x+λ2^-x，当λ=-1时，∴2^x-2^-x=0，解得，x=0；

（2）∵函数f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x），∴λ2^x+2^-x=2^x+λ2^-x，解得λ=1

（3）∵[1/2]≤f（x）≤4

∴[1/2]≤2^x+λ2^-x≤4

∴-2^2x+2^x-1≤λ≤-2^2x+2^x+2，

设2^x=t，t∈[1，2]，

∴-t²+[1/2]t≤λ≤-t²+4t，

分别令g（t）=-t²+[1/2]t，h（t）=-t²+4t，

∴g（t）_max=g（1）=-[1/2]，h（t）_min=h（1）=3

∴-

1

2≤λ≤3

点评：

本题考点： 函数零点的判定定理；函数奇偶性的性质；函数恒成立问题．

考点点评： 本题考查函数零点的求法，偶函数的判断，指数型复合函数的性质以及应用，函数的恒成立问题，属于中档题．