Question

若直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F（[p/2]，0），且交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，O

Answer 1

解题思路：（1）设直线l：x=my+[p/2]，代入y²=2px，可得y²=2p（my+[p/2]），利用韦达定理，即可得出结论；

（2）由题意，AB⊥x轴时，∠AOB最大，此时∠AOB=π-arccos[3/5]，又∠AOB为钝角，故可求∠AOB的取值范围．

（1）证明：设直线l：x=my+[p/2]，

代入y²=2px，可得y²=2p（my+[p/2]），即y²-2pmy-p²=0，

∴y₁y₂=-p²，

∴4p²x₁x₂=（y₁y₂）²，

∴x₁x₂=

p2

4；

（2）由题意，AB⊥x轴时，∠AOB最大，此时A（[p/2]，p），B（[p/2]，-p），

∴cos∠AOB=

2(

p2

4+p2)−4p2

2•(

p2

4+p2)=-[3/5]，

∴∠AOB=π-arccos[3/5]，

∵∠AOB为钝角，

∴∠AOB的取值范围为（[π/2]，π-arccos[3/5]）．

点评：

本题考点： 抛物线的简单性质．

考点点评： 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．