已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.求证:

1个回答

  • 解题思路:(1)设出直线AB的方程,与抛物线方程联立消去y,根据韦达定理求得x1x2的值,最后验证斜率不存在时的情况.

    (2)由抛物线的定义分别表示出|FA|,|FB|,代入

    1

    |FA|

    +

    1

    |FB|

    整理得到定值,最后验证斜率不存在时的情况.

    (1)抛物线的焦点为F([p/2],0),设直线AB的方程为y=k(x-[p/2])(k≠0),

    y=k(x-

    p

    2)

    y2=2px,消去y,得k2x2-p(k2+2)x+

    k2p2

    4=0,

    由根与系数的关系,得x1x2=[p2/4](定值).

    当AB⊥x轴时,x1=x2=[p/2],x1x2=[p2/4],也成立.

    (2)由抛物线的定义,知|FA|=x1+[p/2],|FB|=x2+[p/2].

    [1

    |FA|+

    1

    |FB|=

    1

    x1+

    p/2]+[1

    x2+

    p/2]=

    x1+x2+p

    x1•

    p

    2+x2•

    p

    2+x1x2+

    p2

    4=[2/p](定值).

    当AB⊥x轴时,|FA|=|FB|=p,上式仍成立.

    点评:

    本题考点: 抛物线的简单性质.

    考点点评: 本题主要考查了抛物线的简单性质,直线与抛物线的关系.在设直线方程时,一定不要忘了斜率不存在时的情况.