Question

设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）

Answer 1

解题思路：（1设）直线方程为y=k（x-[p/2]）或x=[p/2]（斜率k不存在）在与抛物线方程联立，求出y₁y₂，再根据y₁y₂=-4，就可求出p值，进而求出抛物线方程．

（2）当b=2时，分别用含A，B，M三点坐标式子表示：k_MA，k_MF，k_MB，再利用它们的关系求a+c，看是否为常数．

（1）设过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F（[p/2]，0）的直线方程为y=k（x-[p/2]）或x=[p/2]（斜率k不存在），则

y2＝2px

y＝k(x−

p

2)得[k/2py2 −y−

px

2＝0，∴y₁y₂=-p²

当x=

p

2]（斜率k不存在）时，则A（[p/2]，p），B（[p/2]，-P），∴y₁y₂=-p²

又∵y₁y₂=-4∴P=2，∴所求抛物线方程为y²=4x

（2）设A（

y12

2p，y₁），B（

y22

2p，y₂），M（-[p/2]，t），F（[p/2]，0），

由已知直线MA，MF，MB的斜率分别记为：k_MA，=a，k_MF=b，k_MB=c，

得a=

y1−t

x1+

p

2，b=[−t/p]，c=

y2−t

x2+

p

2且x1＝

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程．

考点点评： 本题主要考查了用直线与抛物线的位置关系，求抛物线方程，以及定植问题的考查，做题时应认真分析，找出联系．