过点P(1,4)的直线l与两坐标轴正半轴相交,当直线l在两坐标轴上的截距之和最小时,直线l的方程是______.

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  • 解题思路:设直线方程的截距式:

    x

    a

    +

    y

    b

    =1

    ,由题意得

    1

    a

    +

    4

    b

    =1

    ,由此化简直线l在两坐标轴的截距之和得a+b=(a+b)(

    1

    a

    +

    4

    b])=5+[b/a

    +

    4a

    b],利用基本不等式求出当且仅当[b/a

    4a

    b]时截距之和最小,即可算出相应的直线l的方程.

    设直线l的方程为[x/a+

    y

    b=1(a>0,b>0)

    ∵P(1,4)在直线l上

    1

    a+

    4

    b=1,

    可得在两坐标轴上的截距之和a+b=(a+b)(

    1

    a+

    4

    b])=5+[b/a+

    4a

    b]≥5+2

    b

    a•

    4a

    b=9

    当且仅当[b/a=

    4a

    b]时,即b=2a=6时,等号成立

    此时的直线方程为[x/3+

    y

    6=1,化简得2x+y-6=0

    故答案为:2x+y-6=0

    点评:

    本题考点: 直线的截距式方程.

    考点点评: 本题给经过定点的直线,求直线在轴上的截距之和最小时直线的方程.着重考查了直线的方程、直线的基本量和基本不等式求最值等知识,属于中档题.

    1年前

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