Question

已知f（x）=ax+a-x（a＞0且a≠1）

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）定义域为R，证明f（-x）=f（x），确定函数为偶函数，从而证得函数f （ x ）的图象关于y轴对称；

（Ⅱ）利用单调性的定义，设0＜x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），化简确定差的正负，从而证得函数的单调性；

（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，利用函数的单调性，即可得到函数的最大值，再根据函数的最大值为[5/2]，列出等式，即可求得a的值．

（Ⅰ）函数f（x）=a^x+a^-x（a＞0且a≠1），

∴f（x）的定义域为R，

∵f（-x）=a^-x+a^x=f（x），

∴函数f（x）为偶函数，根据偶函数图象的特征，

∴函数f （ x ）的图象关于y轴对称；

（Ⅱ）设0＜x₁＜x₂，

∴f（x₁）-f（x₂）=a^x₁+a^-x₂-（a^x_2-a^-x₁）=a^x₁-a^x₂+

ax2−ax1

ax1+x2=（a^x₁-a^x₂）（1-[1

ax1+x2），

∵0＜x₁＜x₂，

①当0＜a＜1时，a^x₁＞a^x₂，a^x₁+x₂＜1，

∴

1

ax1+x2＞1，

∴1-

1

ax1+x2＜0，

∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），

∴f（x）在（0，+∞）上的单调性递增；

②当a＞1时，a^x₁＜a^x₂，a^x₁+x₂＞1，

∴0＜

1

ax1+x2＜1，

∴1-

1

ax1+x2＞0，

∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），

∴f（x）在（0，+∞）上的单调性递增；

综合①②，f（x）在（0，+∞）上的单调性递增；

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，f（x）在（0，+∞）上的单调性递增，

∴f（x）在[1，2]上的单调性递增，

∴f（x）的最大值为f（2）=a²+a^-2，

∵当x∈[1，2]时函数f （x ）的最大值为

5/2]，

∴a²+a^-2=[5/2]，解得a=

2

2或a=

2，

∴当x∈[1，2]时函数f （x ）的最大值为

点评：

本题考点： 函数最值的应用；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．

考点点评： 主要考查了函数奇偶性的判定，在判断奇偶性时一定要判断定义域是否对称，函数是偶函数，则其图象关于y轴对称．考查了函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．同时考查了利用函数的额单调性求解函数的值域问题．属于中档题．