Question

已知f（x）=ax-a-x（a＞0且a≠1）

Answer 1

解题思路：（1）由函数奇偶性的定义判定f（x）是R上的奇函数；

（2）a＞1时，f（x）是增函数；0＜a＜1时，f（x）是减函数；由函数的导数大于0，函数增，导数小于0，函数减证明即可；

（3）根据a＞1时，f（x）在[1，2]上是增函数，最大值f（2）=[3/2]，求出a；0＜a＜1时，f（x）在[1，2]上是减函数，∴最大值f（1）=[3/2]，求出a即可．

（1）∵f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），x∈R，

∴任取x∈R，都有f（-x）=a^-x-a^x=-（a^x-a^-x）=-f（x），

∴函数f（x）是R上的奇函数；

（2）a＞1时，f（x）是增函数；0＜a＜1时，f（x）是减函数；

证明如下：∵f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），x∈R，

∴f′（x）=a^xlna-a^-xlna•（-1）=

a2x+1

ax•lna；

当a＞1时，a^x＞0，lna＞0，a^2x＞0，∴a^2x+1＞0，∴f′（x）＞0，f（x）是增函数；

当0＜a＜1时，a^x＞0，lna＜0，a^2x＞0，∴a^2x+1＞0，∴f′（x）＜0，f（x）是减函数；

综上，a＞1时，f（x）是增函数；0＜a＜1时，f（x）是减函数；

（3）当x∈[1，2]时函数f（x）的最大值为[3/2]，若a＞1，则f（x）是增函数，∴f（2）=a²-a^-2=[3/2]，解得a=

2；

0＜a＜1时，f（x）是减函数，∴f（1）=a-a^-1=[3/2]，解得a=2或a=-[1/2]，不满足条件，舍去；

综上，a的值为

2．

点评：

本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数奇偶性的判断．

考点点评： 本题考查了函数的奇偶性与单调性以及函数在闭区间上的最值问题，是易错的中档题．