Question

已知椭圆C的两焦点为F 1 （-1，0），F 2 （1，0），并且经过点 M(1 ， 3 2 )

Answer 1

（1）解法一：设椭圆C的标准方程为

x 2

a 2 +

y 2

b 2 =1(a＞b＞0) ，

由椭圆的定义知： 2a=

(1+1) 2 + (

3

2 -0) 2 +

(1-1) 2 + (

3

2 -0) 2 =4 ， c=1 ， b 2 = a 2 - c 2 =3

得 a=2，b=

3

故C的方程为

x 2

4 +

y 2

3 =1 ．

解法二：设椭圆C的标准方程为

x 2

a 2 +

y 2

b 2 =1(a＞b＞0) ，

依题意，a ²=b ²+1①，将点 M(1，

3

2 ) 坐标代入得

1 2

a 2 +

(

3

2 ) 2

b 2 =1 ②

由①②解得a ²=4，b ²=3，故C的方程为

x 2

4 +

y 2

3 =1 ．

（2）因为点P（m，n）在椭圆C上运动，所以

m 2

4 +

n 2

3 =1 ，则 m 2 + n 2 ＞

m 2

4 +

n 2

3 =1 ，

从而圆心O到直线l：mx+ny=1的距离 d=

1

m 2 + n 2 ＜1=r ，

所以直线l与圆O相交．

直线l被圆O所截的弦长为 L=2

1- d 2 =2

1-

1

m 2 + n 2 = 2

1-

1

m 2 +3(1-

m 2

4 ) =2

1-

1

1

4 m 2 +3

∵ 0≤ m 2 ≤4∴3≤

1

4 m 2 +3≤4，

1

4 ≤

1

1

4 m 2 +3 ≤

1

3 ，∴

2

6

3 ≤L≤

3 ．