如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C(0,4),顶点为(1, ).

1个回答

  • (1)

    ;(2)满足条件的点P的坐标有:

    (3)存在点E能使S有最大值,最大值为3,此时点E的坐标为(1,0).

    试题分析:本题考查了二次函数的综合运用.其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法,在动点问题时要注意分情况讨论.

    (1)已知抛物线的顶点坐标可设抛物线的解析式为:

    ,将点C(0,4)代入即可求解.

    (2)求满足使△CDP为等腰三角形的动点P的坐标,一般地,当一等腰三角形的两腰不明确时,应分类讨论如下:如图①当PC=PD时:过点C作CE⊥DP交于点E,设CP=DP=a,由勾股定理易求

    ,所以点

    ;如图②当DC=DP时:即以点D为圆心,以CD的长为半径作圆,可以发现在对称轴上有两个符合条件的点,因为CD=

    ,故DP=

    .所以点P的坐标为

    ;如图③当CD=CP时:点C在DP的垂直平分线上,过点C作CE⊥DP交于点E,此时易得DE=PE=4,所以点P的坐标为

    .

    (3)先由

    求得抛物线与坐标轴的交点坐标,进而求得直线AC的解析式为

    .由于EF∥AC,可由平移设出直线EF的解析式为

    ,此时可求得点E的坐标为

    .进而列方程组求出点F的坐标,最后利用

    得出一个关于b的二次函数,利用二次函数性质可求出是否存在满足条件的点E.

    试题解析:

    (1)解∵抛物线的顶点为

    ∴可设抛物线的函数关系式为

    ∵抛物线与y轴交于点C(0,4),

    解得

    ∴所求抛物线的函数关系式为

    (2)满足条件的点P的坐标有:

    (3)存在点E能使S有最大值,最大值为3,此时点E的坐标为(1,0).

    如图,令

    解得x 1=-2,x 2=4.

    ∴抛物线

    与x轴的交点为A(-2,0) ,B (4,0) .

    ∵A(-2,0),B(4,0),C(0,4),

    ∴直线AC的解析式为

    直线BC的解析式为

    ∵EF∥AC,

    ∴可设直线EF的解析式为

    ,(-2

    ,解得

    ∴点E的坐标为

    ∴BE=

    解方程组