Question

已知中心在原点,焦点在X轴上的双曲线的离心率是根号5,过双曲线上点P的直线分别交两条渐近线于S、T两点,且向量SP等于2

Answer 1

e=√5,c^2=5a^2,c^2=a^2+b^2,b^2=4a^2,双曲线方程可设为：4x^2-y^2=λ,且得：b/a=2,渐近线方程是：y=±2x,设S(x1,2x1),T(x2,-2x2)(x1>0,x2>0),|OS|=√5x1,|OT|=√5x2,tanθ=b/a=2,tan2θ=-4/3,sin2θ=sin∠SOT=4/5,√5x1√5x2*4/5*1/2=9,x1x2=9/2.(1),SP=2PT,P((x1+2x2)/3,(2x1-4x2)/3),代入：4/9*(x1+2x2)^2-4/9*(x1-2x2)^2=λ,32/9*x1x2=λ.(2),λ=16,∴所求的双曲线方程为：x^2/4-y^2/16=1.