Question

已知函数f（x）=3-log2x，x∈[1，16]，求y=[f（x）]2+f（x2）的值域．

Answer 1

解题思路：本题先求出x取值范围，即新函数的定义域，再利用换元法将原函数转化成二次函数，求出相应函数在区间上的值域，得到本题结论．

∵函数y=f（x），x∈[1，16]，

∴y=[f（x）]²+f（x²）中x满足：

1≤x≤16

1≤x2≤16，

∴x∈[1，4]．

∵函数f（x）=3-log₂x，

∴y=[f（x）]²+f（x²）

=（3-log₂x）²+3-log₂x²

=(log2x)2−8log2x+12．

设log₂x=t，t∈[0，2]．

y=g（t）=t²-8t+12=（t-4）²-4，

∴g（2）≤g（t）≤g（0）．

∴0≤g（t）≤12．

∴y=[f（x）]²+f（x²）的值域为[0，12]．

点评：

本题考点： 复合函数的单调性；函数的值域．

考点点评： 本题考查了二次函数的值域，还考查了换元思想，本题要注意新函数的定义域，这是本题的难点．本题属于基础题．