解题思路：（1）求出函数的反函数，利用直线y=kx+1与f（x）的反函数的图象相切，求实数k的值；
（2）利用导数求函数的最值，利用最值讨论曲线
y＝
f(x)
x
2
与直线y=m（m＞0）公共点的个数；
（1）函数f（x）的反函数为g（x）=lnx，g′(x)＝
1
x，
设切点为P（x0，y0），则k＝
1
x0，切线方程：y＝
1
x0x−1+lnx0，
则-1+lnx0=1，
所以x0=ex，即k＝
1
e2．
（Ⅱ）设h(x)＝
ex
x2(x＞0)，则h′(x)＝
ex(x−2)
x3，
由h′（x）＞0，得x＞2，
由h′（x）＜0，得0＜x＜2，
所以h（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，所以h(x)min＝h(2)＝
e2
4，
且x＞0且x→0，则h（x）→+∞；x→+∞，则h（x）→+∞．
所以当0＜m＜
e2
4时，没有交点；
当m=[e2/4]时，有1个公共点；
当m＞[e2/4]时，2个交点；
（3）令F（x）=x2h（x），则F′（x）=x2h′（x）+2xh（x）=
ex
x
所以h（x）=
F(x)
x2，故h′（x）=
F′(x)x2−2xF(x)
x4=
ex−2F(x)
x3
令G（x）=ex-2F（x），则G′（x）=ex-2F′（x）=ex-2•
ex
x=
ex(x−2)
x
显然，当0＜x＜2时，G′（x）＜0，G（x）单调递减；
当x＞2时，G′（x）＞0，G（x）单调递增；
所以，在（0，+∞）范围内，G（x）在x=2处取得最小值G（2）=0．
即x＞0时，ex-2F（x）≥0．
故在（0，+∞）内，h′（x）≥0，
所以h（x）在（0，+∞）单调递增，
又因为h（2）=
f(2)
8=
e2
8＞[7/8]，h（2）＜h（e）
所以h（e）＞[7/8]．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；反函数；根的存在性及根的个数判断；导数的运算；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等关系与不等式．
考点点评： 本题主要考查利用导数研究函数的性质，主要是求单调区间问题，属于难题．