Question

已知函数f（x）=ex+ae-x（a∈R）是偶函数．

Answer 1

解题思路：（1）根据偶函数性质有f（-1）=f（1），由此即可求得a值；

（2）不等式

f(x)＞e+

1

e

可整理为e•e^2x-（e²+1）•e^x+e＞0，由此可得e^x的范围，进而可求得x的范围．

（1）因为f（x）为偶函数，

所以有f（-1）=f（1），即e^-1+ae=e+ae^-1，整理，得（a-1）（e-e^-1）=0，解得a=1，

所以a=1；

（2）f(x)＞e+

1

e，即e^x+e^-x＞e+[1/e]，整理得e•e^2x-（e²+1）•e^x+e＞0，

所以e^x＞e或e^x＜[1/e]，解得x＞1或x＜-1．

故不等式的解集为{x|x＞1或x＜-1}．

点评：

本题考点： 函数奇偶性的判断；数列的求和．

考点点评： 本题考查偶函数的性质及指数型不等式的求解，由函数奇偶性求参数值可采用特值法，如本题，关于指数型不等式求解，常用方法为：或者换元，或者化为同底利用单调性解决．