证明:必要性.(反证)
假设β可由α1,α2,...,αr线性表示
则β,α1,α2,...,αr线性相关
[定理.向量组线性相关的充分必要条件是至少有一个向量可由其余向量线性表示]
与β,α1,α2,...,αr线性无关矛盾
故β不能由α1,α2,...,αr线性表示.
充分性.(反证)
假设β,α1,α2,...,αr线性相关
因为α1,α2,...,αr线性无关 [定理]
所以β可由α1,α2,...,αr线性表示
与β不能由α1,α2,...,αr线性表示矛盾
故 β,α1,α2,...,αr线性无关.