Question

（2012•安徽模拟）定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且当x＜0时，

Answer 1

解题思路：（I）设x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，根据f （x₁）-f （x₂）=f[x₂+（x₁-x₂）]-f （x₂），结合f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且当x＜0时，f（x）＜1，可证f （x₁）＜f （x₂），故可得结论；

（II）根据f（3）=4，计算f（1）=2，利用f （x）在R上是增函数，即可得到函数f（x）在[1，3]上的值域．

证明：（I）设x1、x2∈R，且x1＜x2，f （x1）-f （x2）=f[x2+（x1-x2）]-f （x2）=f （x1-x2）+f （x2）-1-f （x2）=f （x1-x2）-1，∵x1＜x2，∴x1-x2＜0，∵当x＜0时，f（x）＜1∴f （x1）-f （x2）=f （x1-x2）-1...

点评：

本题考点： 抽象函数及其应用；函数的值域；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题考查抽象函数的应用，考查函数的单调性的判断与证明，突出考查等价转化思想的运用，属于中档题．