Question

（2012•临沂二模）已知函数f（x）满足f(x+1)＝−1f(x)，且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=

Answer 1

解题思路：根据

f(x+1)＝−

1

f(x)

，可得f（x）是周期为2的周期函数． 再由f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x²，可得函数在[-1，3]上的解析式．根据题意可得

函数y=f（x）的图象与直线y=kx+k 有4个交点，数形结合可得实数k的取值范围．

∵函数f（x）满足f(x+1)＝−

1

f(x)，故有f（x+2）=f（x），故f（x）是周期为2的周期函数．再由f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x²，

可得当x∈[-1，0]时，f（x）=x²，故当x∈[-1，1]时，f（x）=x² ，当x∈[1，3]时，f（x）=（x-2）²．

由于函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点，故函数y=f（x）的图象与直线y=kx+k 有4个交点，如图所示：

把点（3，1）代入y=kx+k，可得k=[1/4]，数形结合可得实数k的取值范围是 (0，

1

4]，

故选C．

点评：

本题考点： 函数的周期性；函数奇偶性的性质．

考点点评： 本题主要考查函数的周期性的应用，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．