Question

若存在常数k和b，使得函数f（x）和g（x）在它们的公共定义域上的任意实数x分别满足：

Answer 1

（1）∵F（x）=f（x）﹣g（x）=x ²﹣2clnx（x＞0），

∴F′（x）=2x﹣

=（2x ²﹣2c）/x=

令F′（x）=0，得x=

，

当0＜x＜

时，F′（x）＜0，

X＞

时，F′（x）＞0

故当x=

时，F（x）取到极小值，极小值是0

（2）由（1）可知，函数f（x）和g（x）的图象在x=

处有公共点，

因此存在f（x）和g（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，

设隔离直线的斜率为k．则隔离直线方程为y﹣e=k（x﹣

），即y=kx﹣k

+e

由f（x）≥kx﹣

k +e（x∈R），可得x ²﹣kx﹣k

+e，

由f（x）≥kx﹣

k +e（x∈R），可得x ²﹣kx+k

﹣e≥0

当x∈R恒成立，则△=k ²﹣4k

+4e=（k﹣2

） ²≤0，只有k=2

，

此时直线方程为：y=2

x﹣e，

下面证明g（x）≤2

x﹣e ^exx＞0时恒成立

令G（x）=2

x﹣e﹣g（x）=2

x﹣e﹣2elnx，

G′（x）=2

﹣

=（2

x﹣2c）/x=2

（x﹣

）/x，

当x=

时，G′（X）=0，

当0＜x＜

时G′（X）＞0，

则当x=

时，G（x）取到最小值，极小值是0，也是最小值．

所以G（x）=2

x﹣e﹣g（x）≥0，则g（x）≤2

x﹣e当x＞0时恒成立．

∴函数f（x）和g（x）存在唯一的隔离直线y=2

x﹣e