Question

若f(x)是单调（或连续）函数且满足f(x＋y)=f(x)＋f(y) (x,y∈R)、则f(x)=xf(1) 证明：由题

Answer 1

不是括号里少什么,是第2、3步少什么吧?

第一步就不复制了,因为是完整的.只补充完整第二、三步：（“解得f(0)=0 --------- （1） ”后的内容）

x=1,则f(n)=nf(1) x=m/n ,则f(m)=nf(m/n ) ,解得f(m/n )= f(m)/n= m/n*f(1) --------- (2)

x=－m/n ,且令y=－x＞0,则f(x)＋f(y)=f(x＋y)=f(0)=0 ∴f(x)=－f(y)=－yf(1)=xf(1) (m,n∈N+,且(m,n)=1) ---------(3)

结论也是完整的：由上述（1）,（2）,（3）知：对任意有理数x均有f(x)=xf(1) 另一方面,对于任意的无理数x,因f(x)连续,取以x为极限的有理数序列,则有 ：f(x)= f(xn)= xnf(1)=xf(1) 综上所述,对于任意实数x,有 f(x)=xf(1）.

结论这里注意：xn是数列｛xn｝的一项,而不是x乘以n.