首先证明:对任意整数n与实数x,有f(nx) = nf(x).
对n用数学归纳法.
在条件中代入x = y = 0可得f(0) = 0,即n = 0时结论成立.
假设n = k时结论成立,取y = kx,由条件得:
f((k+1)x) = f(x)+f(kx) = f(x)+kf(x) = (k+1)f(x),即n = k+1时结论也成立.
由数学归纳法原理,结论对任意自然数n成立.
而当n为负整数,由0 = f(0) = f(nx)+f(-nx) = f(nx)-nf(x)得f(nx) = nf(x),结论同样成立.
因此对任意整数n与实数x,有f(nx) = nf(x).
当x为有理数,可设x = m/n,其中m,n为整数.
于是nf(x) = f(nx) = f(m) = mf(1) = am,得f(x) = am/n = ax.
即f(x) = ax对任意有理数成立.
如果证明了f(x)的连续性,则对任意实数x,取有理数数列{x[n]}收敛到x,
可得f(x) = lim{n → ∞} f(x[n]) = lim{n → ∞} ax[n] = ax,即得结论.
因此只需证明f(x)的连续性.
f(x)在0连续,即lim{x → 0} f(x) = f(0) = 0,
也即对任意ε > 0,存在δ > 0,使得|x| < δ时成立|f(x)| < ε.
于是对任意实数x0,当|x-x0| < δ时成立|f(x)-f(x0)| = |f(x-x0)| < ε.
即得lim{x → x0} f(x) = f(x0),f(x)在x0处连续.
由x0的任意性,f(x)在R上连续.