Question

若曲线y=sinx,x∈(-π,π)在点P处的切线平行于曲线y=√x * (x/3+1)在点Q处的切线,则直线PQ的斜率

Answer 1

设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1∈(-π,π),x2∈[0,+∞)

曲线1：y=sinx的导数为 y1'=cosx≤1

曲线2：y=√x*(x/3+1)的导数为

y2'=1/(2√x)*(x/3+1)+√x*1/3=1/2*(√x+1/√x)≥1

而切线平行,即斜率相等,则只可能有 y1'=y2'=1

曲线1在P处的切线斜率为 y1'(x1)=cosx1=1

曲线2在Q处的切线斜率为 y2'(x2)=1/2*(√x2+1/√x2)=1

解得 x1=0,x2=1

又点P在曲线1上,点Q在曲线2上,

则分别有 y1=sinx1=0

y2=√x2*(x2/3+1)=4/3

则PQ斜率为 k=(y2-y1)/(x2-x1)=(4/3-0)/(1-0)=4/3