解题思路：（I）用待定系数法即可求得圆C的标准方程；（Ⅱ）首先考虑斜率不存在的情况.当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 ).l与圆C相交于不同的两点，那么Δ>0.由题设及韦达定理可得k与x 1 、x 2 之间关系式，进而求出k的值.若k的值满足Δ>0，则存在；若k的值不满足Δ>0，则不存在.
试题解析：（I）设圆C：(x-a) 2 +y 2 =R 2 (a>0)，由题意知
解得a=1或a=
， 3分
又∵S=πR 2 <13，
∴a=1，
∴圆C的标准方程为：(x-1) 2 +y 2 =4． 6分
（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l为：x=0不满足题意．
当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )，
又∵l与圆C相交于不同的两点，
联立
消去y得：(1+k 2 )x 2 +(6k-2)x+6=0， 9分
∴Δ=(6k-2) 2 -24(1+k 2 )=36k 2 -6k-5>0，
解得
或
．
x 1 +x 2 =
，y 1 + y 2 =k(x 1 +x 2 )+6=
，
，
，
假设
∥
，则
，
∴
，
解得
，假设不成立．
∴不存在这样的直线l． 13分
（I）圆C的标准方程为：(x-1) 2+y 2=4；（Ⅱ）不存在这样的直线l．
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