求函数y=[2x−1/x+1],x∈[3,5]的最小值和最大值.

2个回答

  • 解题思路:先将函数进行常数分离,然后利用导数研究该函数的单调性,从而求出函数的最值.

    方法1:导数法

    y=[2x−1/x+1]=

    2(x+1)−3

    x+1=2-[3/x+1]

    ∵y'=

    3

    (x+1)2>0

    ∴该函数y=[2x−1/x+1]在[3,5]上单调递增

    ∴当x=3时,函数y=[2x−1/x+1]取最小值[5/4],

    当x=5时,函数y=[2x−1/x+1]取最大值为[3/2]

    方法2:分式函数性质法

    因为-[3/x+1]在区间[3,5]上单调递增

    所以函数y=[2x−1/x+1]在[3,5]上单调递增

    ∴当x=3时,函数y=[2x−1/x+1]取最小值[5/4],

    当x=5时,函数y=[2x−1/x+1]取最大值为[3/2].

    点评:

    本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数的最值及其几何意义.

    考点点评: 本题主要考查了利用函数的单调性求解函数的最值,同时考查了分析问题的能力,属于基础题.