Question

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）

Answer 1

解题思路：（1）根据对任意的正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），令x=4，y=1，即可求出f（1）的值；

（2）令x=4，y=4，代入求得f（16），而f（1）=f（[1/16]×16）=f（[1/16]）+f（16）=0，即可求得f（[1/16]）的值；

（3）根据当x＞1时，f（x）＞0，判断函数的单调性，把f（x）+f（x-3）≤1化为f[x（x-3）]≤1=f（4），根据单调性，去掉对应法则f，解不等式．

（1）证明：令x=4，y=1，则f（4）=f（4×1）=f（4）+f（1）．

∴f（1）=0．

（2）f（16）=f（4×4）=f（4）+f（4）=2，f（1）=f（[1/16]×16）=f（[1/16]）+f（16）=0，

故f（[1/16]）=-2．

（3）设x₁，x₂＞0且x₁＞x₂，于是f（

x1

x2）＞0，

∴f（x₁）=f（

x1

x2×x₂）=f（

x1

x2）+f（x₂）＞f（x₂）．

∴f（x）为x∈（0，+∞）上的增函数．

又∵f（x）+f（x-3）=f[x（x-3）]≤1=f（4），

∴

x＞0

x−3＞0

x(x−3)≤4⇒3＜x≤4．

∴原不等式的解集为{x|3＜x≤4}．

点评：

本题考点： 抽象函数及其应用．

考点点评： 此题是个中档题题，考查抽象函数及其应用，以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性，并根据函数的单调性解函数值不等式，体现了转化的思想，在转化过程中一定注意函数的定义域．解决抽象函数的问题一般应用赋值法．