已知函数f(x)=(a*2^x+a-2)/(2^x+1)为奇函数.判断函数f(x)的单调性并用定义证明

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  • 分析:(1)根据函数f(x)为定义域为R的奇函数,则f(0)=0,代入解析式可求出a的值;(2)由(1)知f(x)=﹙2^x-1﹚/﹙2^x+1﹚=1-2/﹙2^x+1﹚,所以f(x)为增函数,任取x1<x2∈R,然后判定f(x1)-f(x2)的符号,根据函数单调性的定义即可判定;

    (1)f(x)的定义域为R,且为奇函数,∴f(0)=0,∴a=1

    (2)由(1)知f(x)=﹙2^x-1﹚/﹙2^x+1﹚=1-2/﹙2^x+1﹚,

    证明:任取x1<x2∈R

    f(x1)-f(x2)=1-2/(2^x1+1)-1+2/(2^x2+1)=2(2^x1-2^x2)/[ (2^x1+1) (2^x2+1)]

    ∵x1<x2∈R,∴2^x1<2^x2

    ∴f(x1)-f(x2)<0即f(x1)<f(x2)

    ∴f(x)为R上的增函数.

    点评:本题主要考查了函数的奇偶性,以及函数的单调性和函数的值域,属于中档题.