已知函数f(x)=ex+x2-x,若对任意x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤k恒成立,则k的取值范围

2个回答

  • 解题思路:函数f(x)=ex+x2-x对任意x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤k恒成立,等价于f(x)=ex+x2-x在[-1,1]内的最大值与最小值的差小于等于k.

    ∵f(x)=ex+x2-x,

    ∴f′(x)=ex+2x-1,

    由f′(x)=ex+2x-1=0,得x=0.又f′(x)单调递增,可知f′(x)=0有唯一零点0,

    ∵f(-1)=[1/e]+2,f(1)=e,f(0)=1.

    ∴函数f(x)=ex+x2-x在[-1,1]内的最大值是e,最小值是1.

    ∴函数f(x)=ex+x2-x,对任意x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1.

    ∵函数f(x)=ex+x2-x对任意x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤k恒成立,

    ∴k≥e-1.

    ∴k的取值范围为[e-1,+∞).

    故选:A.

    点评:

    本题考点: 函数恒成立问题.

    考点点评: 本题考查满足条件的实数的取值范围的求法,解题的关键是要分析出|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min.