Question

已知sina+cosa=1,求(sina)^2+(cosa)^2,(sina)^3+(cosa)^3,(sina)^4+

Answer 1

sin²a+cos²a=1

sina+cosa=1

(sina+cosa)²=1

sin²a+2sinacosa+cos²a=1

2sinacosa+1=1

2sinacosa=0

sinacosa=0

sin³a+cos³a

=(sina+cosa)(sin²a-sinacosa+cos²a)

=1×(1-0)

=1

sin⁴a+cos⁴a

=(sin²a+cos²a)²-2sin²acos²a

=1²-0

=1

一般性结论：

已知sina+cosa=1,则sinⁿa+cosⁿa=1.

证：

sina+cosa=1 sinacosa=0 (这一步从略)

n=1时,sina+cosa=1 (已知)

假设当n=k (k∈N且k≥1)时,

(sina)^k +(cosa)^k=1,则当n=k+1时,

(sina)^(k+1) +(cosa)^(k+1)

=[(sina)^k +(cosa)^k](sina+cosa) -(sina)^kcosa -sina(cosa)^k

=1×1 -sinacosa[(sina)^(k-1) +(cosa)^(k-1)]

=1-0

=1

k为任意正整数,因此对任意正整数n,等式恒成立,即sinⁿa+cosⁿa=1.