Question

已知曲线y＝13x3+43，求曲线过点P（2，4）的切线方程．

Answer 1

解题思路：设出曲线过点P切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把P的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可．

设曲线y＝

1

3x3+

4

3，与过点P（2，4）的切线相切于点A（x₀，[1/3]x

30+[4/3]），

则切线的斜率 k=y′|_x=x0=x₀²，

∴切线方程为y-（[1/3]x

30+[4/3]）=x₀²（x-x₀），

即 y=x₀²•x-[2/3]x₀³+[4/3]

∵点P（2，4）在切线上，

∴4=2x₀²-[2/3]x₀³+[4/3]，即x₀³-3x₀²+4=0，

∴x₀³+x₀²-4x₀²+4=0，

∴（x₀+1）（x₀-2）²=0

解得x₀=-1或x₀=2

故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0．

点评：

本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 此题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题．学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决．