Question

证明下述函数项级数在[0,+oo)一致收敛

Answer 1

可以不用分段.

直接求导证明函数x²e^(-nx)在[0,+∞)上的最大值为4/(n²e²).

即成立不等式0 ≤ x²e^(-nx) ≤ 4/(n²e²).

而数项级数∑{1 ≤ n} 4/(n²e²) = 4/e²·∑{1 ≤ n} 1/n²收敛,

由Weierstrass判别法即知∑{1 ≤ n} x²e^(-nx)在[0,+∞)上一致收敛.