设函数f(x)=x3+bx2+cx(x∈R),若g(x)=f(x)-f′(x)是奇函数

1个回答

  • 解题思路:(1)根据g(x)=f(x)-f'(x)是奇函数,且f'(x)=3x2+2bx+c能够求出b与c的值.

    (2)对g(x)进行求导,g'(x)>0时的x的取值区间为单调递增区间,g'(x)<0时的x的取值区间为单调递减区间.

    (1)∵f(x)=x3+bx2+cx,

    ∴f'(x)=3x2+2bx+c.

    从而g(x)=f(x)-f'(x)=x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c)=x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c

    是一个奇函数,所以g(0)=0得c=0,

    由奇函数定义得b=3;

    (2)由(1)知g(x)=x3-6x,从而g'(x)=3x2-6,

    当g'(x)>0时,x<-

    2或x>

    2,

    当g'(x)<0时,-

    2<x<

    2,

    由此可知,(-∞,-

    2)和(

    2,+∞)是函数g(x)的单调递增区间;(-

    2,

    2)是函数g(x)的单调递减区间;

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的单调性.

    考点点评: 本题主要考查对导数的理解.导数大于0时可求原函数的单调递增区间,导数小于0时可求原函数的单调递减区间