Question

已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f(x1x2)＝f(x1)−f(x2)，且当x＞1时f（x）＜0．

Answer 1

解题思路：（1）令x₁=x₂代入可得f（1）=0

（2）设x₁＞x₂＞0 则

x

1

x

2

＞1

，

f(

x

1

x

2

)＜0

，代入即可得证．

（3）先根据f（3）=-1将2化为f（[1/9]），进而由函数的单调性解不等式．

（1）令x₁=x₂得f（1）=0

（2）设x₁＞x₂＞0 则

x1

x2＞1，f(

x1

x2)＜0∴f(x1)−f(x2)＝f(

x1

x2)＜0

所以f（x）在（0，+∞）为减函数；

（3）∵f（1）=0，f（3）=-1∴f(3)＝f(

1

1

3)＝f(1)−f(

1

3)

∴f(

1

3)＝f(1)−f(3)＝1，f(

1

9)＝f(

1

3)−f(3)＝2

∴f(|x|)＜2⇔f(|x|)＜f(

1

9)⇔|x|＞

1

9

所以原不等式的解集为{x|x＜−

1

9，或x＞

1

9}．

点评：

本题考点： 抽象函数及其应用．

考点点评： 本题主要考查抽象函数求值和单调性的问题．根据函数单调性解不等式是考查的重点．