Question

函数f(x)=ln(x+1)-f(0)x-f’（0）x²+2,若f(x)≤x²+ax+b,求(b-3)/a+2的最小值

Answer 1

f(0)=2 所以f(x)=ln(x+1)-2x-f'(0)x^2+2

求导：f'(x)=1/(x+1)-2-2f'(0)x

令x=0：f'(0)=1-2=-1

所以f(x)=ln(x+1)-2x+x^2+2

因为f(x)≤x²+ax+b

所以令 g(x)=f(x)-ax-b=ln(x+1)-(a+2)x+2-b≤0；

再令 g'(x)=[1/(x+1)]-(a+2)=0,求得 g(x) 的零点（当 a>-2 时是极大值点）：x0=-(a+1)/(a+2)；

按题意须有 g(x0)≤0,即 ln[1/(a+2)]+(a+2)+3-b≤0；

∴ (b-3)/(a+2)≥1 -[ln(a+2)]/(a+2)；

函数 φ(x)=(lnx)/x（x>0）的最大值为；f(1)=0（对应 a=-1）；

∴ (b-3)/(a+2)≥1；

{当 a≤-2 时,g(x)≤0 不能恒成立,也就是原题给条件无法对任意 x 成立,所以应有 a>-2}