（Ⅰ）因为f（-1）=0,所以a-b+1=0．（1分）
因为方程f（x）=0有且只有一个根,所以△=b2-4a=0．
所以b2-4（b-1）=0．即b=2,a=1．（3分）
所以f（x）=（x+1）2．（4分）
（Ⅱ）因为g（x）=f（x）-kx=x2+2x+1-kx=x2-（k-2）x+1
=(x−
k−2
2
)2+1−
(k−2)2
4
．（6分）
所以当
k−2
2
≥2或
k−2
2
≤−2时,
即k≥6或k≤-2时,g（x）是单调函数．（9分）
（Ⅲ）f（x）为偶函数,所以b=0．所以f（x）=ax2+1．
所以F(x)＝
ax2+1x＞0
−ax2−1x＜0.
（10分）
因为mn＜0,不妨设m＞0,则n＜0．
又因为m+n＞0,所以m＞-n＞0．
所以|m|＞|-n|．（12分）
此时F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=am2+1-an2-1=a（m2-n2）＞0．
所以F（m）+F（n）＞0．（14分）