Question

函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）．

Answer 1

解题思路：（1）赋值法：令x₁=x₂=1，可求f（1），令x₁=x₂=-1，可求f（-1）；

（2）令x₁=-1，根据函数奇偶性的定义即可判断；

（3）由f（4）=1，得f（16）=f（4）+f（4）=2，从而不等式可化为f（3x+4）＜f（16），借助函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”，解不等式组即可．

（1）令x₁=x₂=1，有f（1）=f（1）+f（1），

所以f（1）=0．

令x₁=x₂=-1，有f（1）=f（-1）+f（-1）=0，

所以f（-1）=0．

（2）f（x）为偶函数，证明如下：

令x₁=-1，有f（-x₂）=f（-1）+f（x₂），

∴f（-x₂）=f（x₂），

又定义域关于原点对称，所以f（x）为偶函数．

（3）因为f（4）=1，所以f（16）=f（4）+f（4）=2，

所以f（3x+4）＜f（16），

又函数为偶函数，所以f（|3x+4|）＜f（16），

所以

−16＜3x+4＜16

3x+4≠0，解得x的取值范围是：-[20/3]＜x＜4且x≠-[4/3]．

点评：

本题考点： 抽象函数及其应用；奇偶性与单调性的综合．

考点点评： 本题考查抽象函数的奇偶性、单调性及抽象不等式的求解，定义、性质是解决抽象函数问题的基本方法．