解题思路：（1）要证明无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根，就是证明△＞0，而△=（2k+3）2-4（k2+3k+2）=1，所以△＞0；
（2）要得到△ABC是以BC为斜边的直角三角形，即要有BC2=AC2+AB2，然后根据根与系数的关系用k表示AC2+AC2，得到k的方程，解方程，再根据题意取舍即可；
（3）根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论：①AB=AC，②AB=BC，③BC=AC；后两种情况相同，则可有另种情况，再由根与系数的关系得出k的值．
（1）证明：∵△=（2k+3）2-4（k2+3k+2）=1，
∴△＞0，
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2﹚当△ABC是以BC为斜边的直角三角形时，有AB2+AC2=BC2
又∵BC=5，两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根．
∴AB2+AC2=25，AB+AC=2k+3，AB•AC=k2+3k+2，
由（AB+AC）2-2AB•AC=25
∴（2k+3）2-2•（k2+3k+2）=25
∴k2+3k-10=0，（k-2）（k+5）=0，
∴k1=2或k2=-5
又∵AB+AC=2k+3＞0
∴k2=-5舍去
∴k=2；
（3）∵△ABC是等腰三角形；
∴当AB=AC时，△=b2-4ac=0，
∴（2k+3）2-4（k2+3k+2）=0
解得k不存在；
当AB=BC时，即AB=5，
∴5+AC=2k+3，5AC=k2+3k+2，
解得k=3或4，
∴AC=4或6
∴△ABC的周长为14或16．
点评：
本题考点： 一元二次方程的应用．
考点点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了勾股定理的逆定理和一元二次方程的解法．