已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,第三边长为5

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  • 解题思路:(1)要证明无论k为何值时,方程总有两个不相等的实数根,就是证明△>0,而△=(2k+3)2-4(k2+3k+2)=1,所以△>0;

    (2)要得到△ABC是以BC为斜边的直角三角形,即要有BC2=AC2+AB2,然后根据根与系数的关系用k表示AC2+AC2,得到k的方程,解方程,再根据题意取舍即可;

    (3)根据等腰三角形的性质,分三种情况讨论:①AB=AC,②AB=BC,③BC=AC;后两种情况相同,则可有另种情况,再由根与系数的关系得出k的值.

    (1)证明:∵△=(2k+3)2-4(k2+3k+2)=1,

    ∴△>0,

    ∴无论k取何值时,方程总有两个不相等的实数根;

    (2﹚当△ABC是以BC为斜边的直角三角形时,有AB2+AC2=BC2

    又∵BC=5,两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根.

    ∴AB2+AC2=25,AB+AC=2k+3,AB•AC=k2+3k+2,

    由(AB+AC)2-2AB•AC=25

    ∴(2k+3)2-2•(k2+3k+2)=25

    ∴k2+3k-10=0,(k-2)(k+5)=0,

    ∴k1=2或k2=-5

    又∵AB+AC=2k+3>0

    ∴k2=-5舍去

    ∴k=2;

    (3)∵△ABC是等腰三角形;

    ∴当AB=AC时,△=b2-4ac=0,

    ∴(2k+3)2-4(k2+3k+2)=0

    解得k不存在;

    当AB=BC时,即AB=5,

    ∴5+AC=2k+3,5AC=k2+3k+2,

    解得k=3或4,

    ∴AC=4或6

    ∴△ABC的周长为14或16.

    点评:

    本题考点: 一元二次方程的应用.

    考点点评: 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的判别式△=b2-4ac.当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.同时考查了勾股定理的逆定理和一元二次方程的解法.